an problem in mathematics

Tư T7 11, 2007 4:53 pm

円周率が3.05より大きいことを証明せよ
　Nhờ các bạn giúp đỡ[cry][cry]

Tư T7 11, 2007 6:32 pm

Nếu mình không nhầm thi đây là bài toán mình vẫn thấy hằng ngày ở poster trên tàu điện. Bài toán thực sự khó, ít nhất là với dân toán VN. Anh em nào rảnh rỗi 挑戦 thử xem sao ?[cry][cry]
Nhưng không hiểu là điều kiện để giải bài toán là gì ? ( ví dụ không được dùng số Pi là 3.14, không được dùng máy tính tính sẵn sin,cos các góc...)

Mình đưa ra lời giải thế này, không biết có hài lòng ý bạn không ?
Trước hết ta cần định nghĩa 円周率: 円周率là tỉ số giữa chu vi và đường kính. Đề bài dịch ra là chứng minh tỉ số chu vi với đường kính lớn hơn 3.05.

Để giải bài toán, ta xét hình 12 giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R, chu vi đa giác này là N. Ta chứng minh được cái này là ok :Chu vi hình tròn=K >N>3.05*2R

1)Hiển nhiên, chu vi của 12 giác đều nội tiếp này sẽ nhỏ hơn chu vi của hình tròn nên K>N.

2) Chu vi 12 giác đều là N=12*sin(180/12)*R=12Rsin15° nên N>3.05*2R <=> sin 15°>3.05/12.
Ta xét tam giác cân cạnh bên là R, góc giữa là 30°.Dựa vào hàm số cos của tam giác này ta sẽ dễ dàng tính được
sin15°=sqrt((2-sqrt(3))/4) (sqrt là kí hiệu căn bậc 2.)
= (sqrt(3)-1)/sqrt(2)
=sqrt(2)(sqrt(3)-1)/2.
Ở đây, ta sẽ ngồi tính xem căn bậc 2 của 2,3 bằng bao nhiêu đến vài phần số lẻ, ví dụ sqrt(2)>1.41, sqrt(3)>1.73 thì thế vào ta sẽ có 12*sin15°>3.066>3.05(dpcm)

Từ 1),2) ta sẽ suy ra K>3.05 ( thực ra là 3.066)

Tư T7 11, 2007 7:41 pm

Nếu ko được phép dùng máy tính cho sin có thì em có cách giải zầy :p
Theo em hiểu thi đề nó bắt mình tìm số PI
Xét đường tròn bk 1..Chia đường tròn này ra 8 phần bằng nhau->mỗi cung 45do.
Gọi chu vi hình Bát giác này là L
Ta có 2pi>L
pi>L/2
Theo định lý sin cos gì đó :d
[rolleyes])
x bình phương = 1 bình phương+1 bình phương-2.1.1.cos 45=2-căn 2
L=8x nên
(L/2)bình =16 x bình phương=16(2-căn 2)
căn 2=1.414
nên (L/2)bình phương > 9.36
mà 3.05 bình phương bằng 0,3025
nên (L/2)bình phương>(3,05)bình phương
L/2 >3,05
PI>3,05..(end)
Có cái hình này xem cho dễ hiểu [grin]

@asdfghjkl: a problem (không phải "an mô nợ )[lol][lol][lol][lol]

Tư T7 11, 2007 9:14 pm

Mình hỏi anh bạn google thì đúng 2 đáp án của 2 bạn đã đưa ra

円周率＞3.05 解法
▽円に内接する正六角形の場合について考えると
　円周(＝2πr) ＞正六角形の外周(＝6r)
　2πr＞6r
　π＞3

同様に正八角形・・・と計算する。
ここで、正八角形正十角形でも3.05以上は証明できるが、
計算が少し面倒なので正十二角形を用いて証明する。

余弦定理より、
L＾2＝r＾2 + r＾2 - 2・r・r・cos30°
　　＝r^2・(2-√3)
(2πr)＾2＞(12L)＾2
4π＾2・r^2＞144・r^2・(2-√3)
π＾2＞36(2-√3)
π＞6√(2-√3)
　＞6・0.511＝3.066

√(2-√3)＝√(3/2)-√(1/2)
　　　　＝(√2)/2・(√3-1)
　　　　＞1.4/2・(1.73-1)＝0.7・0.73＝0.511
　√2＞1.4　√3＞1.73　

Nhưng một bài toán thú vị mà giải như thế này thì ai cũng giải được ... liệu có cách nào giải mà ngồi yamate-sen chỉ chỉ mấy ngón tay là giải được không vậy?!!

Tư T7 11, 2007 9:46 pm

Nhưng một bài toán thú vị mà giải như thế này thì ai cũng giải được ... liệu có cách nào giải mà ngồi yamate-sen chỉ chỉ mấy ngón tay là giải được không vậy?!!

Nếu bảo là chứng minh Pi>3 thì có thể nói là thú vị, chứ Pi>3.05 thì độ chính xác đã yêu cầu khá cao rồi( Pi=3.1...), đâu còn là thú vị nữa.

Mặt khác, bản thân việc chọn n-giác đều nào để chứng minh cũng là 1 điều khá lí thú đấy chứ. Mình chọn hình 12 giác vì lấy 余裕 cho chắc ăn, góc là 30 dễ tính, khi thử thì thấy chỉ cần nhẩm đến con số lẻ thứ 2 là ok. Mình rất bất ngờ khi thấy 160119653701 chỉ chọn có 8-giác, リスク sẽ trở nên rất lớn, trong khi phải ngồi mò đến số lẻ thứ 3 mới thấy kết quả cần tìm( thường thì thử đến 1,2 số lẻ thấy vẫn bé hơn là đầu hàng rồi ). Quả thực 160119653701 rất kiên nhẫn và bản lĩnh đấy ! ( Còn nếu đem bấm máy tính ra thử trước rồi mới bắt tay tính nhẩm thì mau mau cúi đầu xin khoan hồng cho lẹ,[grin][grin] )
Một trong những kinh nghiệm lớn mà em học rút ra ở ĐH là: nếu nước Nhật chỉ học theo kiểu chỉ chỉ mấy ngón tay như VN thì khó lòng mà có được như ngày hôm nay !! 1 bài toán nhỏ khiến chúng ta nhiều suy ngẫm.

Tư T7 11, 2007 10:15 pm

Mình chọn hình 12 giác vì lấy 余裕 cho chắc ăn, góc là 30 dễ tính, khi thử thì thấy chỉ cần nhẩm đến con số lẻ thứ 2 là ok. Mình rất bất ngờ khi thấy 160119653701 chỉ chọn có 8-giác, リスク sẽ trở nên rất lớn, trong khi phải ngồi mò đến số lẻ thứ 3 mới thấy kết quả cần tìm( thường thì thử đến 1,2 số lẻ thấy vẫn bé hơn là đầu hàng rồi ). Quả thực 160119653701 rất kiên nhẫn và bản lĩnh đấy ! ( Còn nếu đem bấm máy tính ra thử trước rồi mới bắt tay tính nhẩm thì mau mau cúi đầu xin khoan hồng cho lẹ, )

Hic ..bó tay..Nghĩ sao nói zậy..:d
Bài toán này khi anh nhìn vao .nếu anh xac định ngay cái việc đề cho để tìm đến con số PI qua con đường này thì việc chọn gọn 45 là hợp lí nhất...[grin]

Năm T7 12, 2007 10:27 am

Một trong những kinh nghiệm lớn mà em học rút ra ở ĐH là: nếu nước Nhật chỉ học theo kiểu chỉ chỉ mấy ngón tay như VN thì khó lòng mà có được như ngày hôm nay

Anh Por....ter đi vào đường mòn mất rồi, bài toán này hiện trên monitor trong Yamate-sen, nếu bác salarly-man nào cũng vác giấy ra rồi nhẩm nhẩm thì có mà loạn ^_^ còn nếu chứng minh Pi lớn hơn 3 thì chuối quá, học sinh nào khi học về chu vi đường tròn cũng biết chu vi của nó lớn hơn chu vi hình lục giác đều nội tiếp --> bài toán mất hẳn tính "elegant"!

Nếu tiếp cận không theo kiểu lượng giác thì

(chẳng cần phải tính căn ... )
Tại sao một bài toán như thế này mà hiện trên màn Monitor yamate-sen nhỉ?!
Ai có hứng thú về số Pi thì có thể download file này (2mb): http://www.zenwerx.com/pi.php

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196
4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273
7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094
3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912
9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132
0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235
4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859
5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303
5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989
3809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151
5574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012
8583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912
9331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419927260426992279
6782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955
3211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000
8164706001614524919217321721477235014144197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333
4547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383
8279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863
0674427862203919494504712371378696095636437191728746776465757396241389086583264599581339047802759009
9465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203
4962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382
6868386894277415599185592524595395943104997252468084598727364469584865383673622262609912460805124388
4390451244136549762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506
0168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125
1507606947945109659609402522887971089314566913686722874894056010150330861792868092087476091782493858
9009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364
5428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344
0374200731057853906219838744780847848968332144571386875194350643021845319104848100537061468067491927
8191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907186494231961
5679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215
0306803844773454920260541466592520149744285073251866600213243408819071048633173464965145390579626856
1005508106658796998163574736384052571459102897064140110971206280439039759515677157700420337869936007
2305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116
7229109816909152801735067127485832228718352093539657251210835791513698820914442100675103346711031412
6711136990865851639831501970165151168517143765761835155650884909989859982387345528331635507647918535
8932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923
2332609729971208443357326548938239119325974636673058360414281388303203824903758985243744170291327656
1809377344403070746921120191302033038019762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658
2131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396
6655730925471105578537634668206531098965269186205647693125705863566201855810072936065987648611791045
3348850346113657686753249441668039626579787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800
7002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332699390814546646458807972708266830
6343285878569830523580893306575740679545716377525420211495576158140025012622859413021647155097925923
0990796547376125517656751357517829666454779174501129961489030463994713296210734043751895735961458901
9389713111790429782856475032031986915140287080859904801094121472213179476477726224142548545403321571
8530614228813758504306332175182979866223717215916077166925474873898665494945011465406284336639379003
9769265672146385306736096571209180763832716641627488880078692560290228472104031721186082041900042296
6171196377921337575114959501566049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386743513
6222247715891504953098444893330963408780769325993978054193414473774418426312986080998886874132604721
5695162396586457302163159819319516735381297416772947867242292465436680098067692823828068996400482435
4037014163149658979409243237896907069779422362508221688957383798623001593776471651228935786015881617
5578297352334460428151262720373431465319777741603199066554187639792933441952154134189948544473456738
3162499341913181480927777103863877343177207545654532207770921201905166096280490926360197598828161332
3166636528619326686336062735676303544776280350450777235547105859548702790814356240145171806246436267
9456127531813407833033625423278394497538243720583531147711992606381334677687969597030983391307710987
0408591337464144282277263465947047458784778720192771528073176790770715721344473060570073349243693113
8350493163128404251219256517980694113528013147013047816437885185290928545201165839341965621349143415 .... chấm chấm ....

Ba T7 17, 2007 1:19 pm

Nếu tiếp cận không theo kiểu lượng giác thì

(chẳng cần phải tính căn ... )

Nếu làm như potay phải tính cỡ 10 phép tính chia cho các số lẻ và một phép cộng lại mới đến giá trị lớn hơn 3.05 một chút!
Hình như bài toán này là trên poster quảng cáo chứ không phải màn hình monitor như potay nói đâu, nên có lẽ cách giải như anh bạn google là hợp lý nhất?! Đành dừng lại ở đây sao .... ???

Tư T7 18, 2007 8:53 pm

[smile]cảm ơn Portraitpainter và nhóc 160119653701.hoàng nam nhé(anh vào blog nên biết được tên[grin].
Mình nghĩ ý kiến của aka47 hay á..
Để mình tiếp tục bài náy nhé
　a,b を実数とする　３次方程式　x^3+ax^2+bx+1=0は三つ　の複素数からなる解a1 a2 a3を持ち　相異　i,j に対し　｜ai-aj=sqrt3を満たしてる　
　このようなa,bの組をすべてもとめよ(ở đây ai,aj ..i,j là chữ nhỏ,nghĩa là số a thứ i và số a thứ j)[bounce]

Năm T7 19, 2007 12:22 am

Trời ơi! Híc[cry]Nhìn mà đã thấy kinh! Nakitai! Kaita! Ặcặc! cái gì thế này không biết nữa![ninja]

an problem in mathematics

Ai đang trực tuyến?